群在集合上的作用 (OPERATIONS OF A GROUP ON A SET)

作用 (operation)

定义：令$G$是一个群，$S$是一个集合。$G$在$S$上的一个作用 (operation/action) 定义为$G$到$S$的置换群的同态： $\pi:\ G\to Perm(S)$ 称$S$为一个 $G$-群 (G-set)。与$x$相关的置换记作$\pi_x$，从而作用也记作$x\mapsto \pi_x$。
给定$s\in S$，$s$在置换$\pi_x$下的像记作$\pi_x(s)$。从一个作用可以得到一个映射： $G\times S\to S$ $(x,s)\mapsto \pi_x(s)$ 以后将$\pi_x(s)$简记为$xs$，根据这一记号得到如下性质： $x,y\in G,\ s\in S，有x(ys)=(xy)s$ $e\in G是单位元，则es=s,\ \forall s\in S$ 另一方面，给定满足上述条件的映射$G\times S\to S\ (x,s)\mapsto xs$，则$\forall x\in G$，$s\mapsto xs$构成了$S$上的置换，记作$\pi_x(s)$，则$x\mapsto \pi_x$是$G$到$Perm(S)$的同态。从而$G$在$S$上的作用也可定义为 $G\times S\to S$ 该映射满足上述两个条件。

共轭 (Conjugation)：最重要的群$G$作为置换群的表示如下：
$\forall x\in G$，令
$\textbf{c}_x:G\to G$ $y\mapsto xyx^{-1}$
从而立即得到同态：
$G\to Aut(G)$ $x\mapsto \textbf{c}_x$
这样给出了$G$在自己的作用，称为共轭 (conjugation)。易见这一同态的核$\{x\in G|xy=yx,\ \forall y\in G\}$是$G$的中心，从而是$G$的正规子群；$G$上的自同构$\textbf{c}_x$称为内(inner)自同构。
注：为避免与左作用混淆，不用记号$xy$表示$\textbf{c}_x(y)$。有时记
$\textbf{c}_{x^{-1}}=x^{-1}yx=y^x$
从而有
$y^{(xz)}=(y^x)^z,\ y^{e}=y$
类似地，有
$\textbf{c}_{x}=xyx^{-1}={}^{x}y$
及其他性质。

注意到$G$也共轭地作用在$G$的子集构成的集合上。事实上，令$S$为$G$的子集构成的集合，$A\in S$，则$xAx^{-1}\in S$，记为$\textbf{c}_x(A)$。易验证
$G\times S\to S$ $(x,A)\mapsto xAx^{-1}$
是$G$在$S$上的作用
又注意到若$A$是$G$的子群，则$xAx^{-1}$也是$G$的子群，从而$G$可以共轭地作用在$G$的子群的集合上。
若$A,\ B$是$G$的集合，称他们是共轭的 (conjugate)，若$\exists x\in G,\ B=xAx^{-1}$。
平移 (Translation)：$\forall x\in G$，定义平移为映射
$T_x:G\to G$ $y\mapsto xy$
从而映射
$(x,y)\mapsto xy$定义了$G$到自身的一个作用。
注：$T_x$不是同态，仅是$G$上的置换！
类似地，可在$G$的子群构成的集合上定义平移：若$A\subset G$，则$xA=T_x(A)\subset G$