群（一）

幺半群 (MONOID)

复合法则 (law of composition)

1. 定义：$S$是集合，称映射 $$S \times S \to S$$ 为（$S$到自身的）一个复合法则。$\forall x,y \in S$，称$(x,y)$的像为在该复合法则下的积(product)，记作$xy$（或$x\cdot y$）。有时也称为和(sum)，记作$x+y$，此时通常要求交换律成立，即：$x+y=y+x$。
2. 定义：设S是具有复合法则的集合，$\forall x,y,z \in S$，若$(xy)z=x(yz)$，称该复合法则是结合的(associative)。

单位元 (unit element)

1. 定义：称$e\in S$为单位元(unit element)，若 $ex=x=xe,\ \forall x \in S$。
2. 唯一性：若$e’$是另一单位元，则有$e’=e’e=e$。

幺半群 (monoid)

1. 定义: 称一个集合$G$是幺半群(monoid)，若$G$上有一个结合的复合法则，且有一个单位元。
2. 例：$\mathbb{N}$在加法和乘法下分别构成幺半群。

多个元素的积

1. 定义: 设$G$是幺半群，$x_i,\cdots, x_n$是$G$中的元素$(n>1)$。归纳地定义它们的积： $$\prod_{v=1}^{n}x_v=(x_1\cdots x_{n-1})x_n.$$ 当$n=0$时，定义 $$\prod_{v=1}^0x_v=e.$$

一般的复合法则

1. 定义：集合$S_1,S_2,S_3$，复合法则定义为映射 $$f:\ S_1\times S_2\to S_3$$
2. 结合性(associativity) 可类似地定义，若复合法则有意义。
3. 交换性(commutativity)：若$f:\ S\times S\to T$满足 $f(x,y)=f(y,x)$,（或省略 $f$，$xy=yx$），则称$f$是交换的。

交换幺半群

1. 定义：如果$G$上的复合法则是交换的，则称$G$为交换的 (commutative)（或阿贝尔的(abelian)）。
2. 若$G$交换，$x_1,…,x_n\in G,$ 设$\psi$是$\{1,\cdots, n\}$到自身的双射，归纳地，有 $$\prod_{v=1}^nx_{\psi(v)}=\prod_{v=1}^nx_v$$ 当复合法则记作加法时，$\prod$写作$\sum$。
3. 记$\prod\limits_1^n x$为$x^n$，有$x^{n+m}=x^n x^m,\ (x^n)^m=x^{nm}$。若$G$是交换的、结合的，则有$(xy)^n=x^ny^n$。

集合的积

1. 定义：$S,S’$是幺半群$G$的子集，定义$SS’$为$\{xy|x\in S,y\in S’\}$，归纳地可以定义有限个集合的积。若$x\in S$，定义$xS$为$\{x\}S$。

子幺半群 (submonoid)

1. 定义：称幺半群$G$的子集$H$为$G$的子幺半群，若$e\in H$，且$H$关于$G$上的复合法则封闭。$H$在$G$诱导的复合法则下构成幺半群。
2. 例：$G$幺半群，$x\in G$，$\{x^n|n \in \mathbb{N}\}$构成子幺半群。

群 (GROUP)

逆 (inverse)

1. 定义：幺半群$G$，$x \in G$，称$y\in G$是$x$的逆，若$xy=yx=e$。将$x$的逆$y$记作$x^{-1}$（若运算法则写作和的形式，则记作$-x$）。
2. 唯一性：若$y’$也是$x$的逆，则有$y’=y’xy=y$。
3. $x^{-n}=(x^{-1})^n,\ \forall n \in \mathbb{N}$。
4. 左单位元(left unit)与左逆(left inverse)：$G$是幺半群，称$e\in G$是左单位元，若$ex=x,\ \forall x \in G$，同理可定义左逆。（同理可定义右的情形。）
5. 幺半群的左单位元即为单位元，左逆即为逆。
   事实上，$\forall x \in G, yx=e$，有 $$yxy=ey=y$$ 两边乘$y$的左逆$y^{-1}$，有 $$xy=e$$ 即$y$是$x$的右逆，从而是逆。又 $$xe=xyx=x$$ 有$x$的任意性，$e$是单位元。

群 (group)

1. 定义：$G$是一个幺半群。称$G$是一个群，若$\forall x \in G, x^{-1}\in G$。

例：群

1. $G$是群，$S$是非空集合。$S$到$G$上的映射构成的集合$M(S,G)$是一个群。复合法则为映射的复合，单位元$I$为$I(x)=e\in G$，映射$f$的逆$f^{-1}$定义为$f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$。若复合法则记作加法，有同样的结果。若$G$是交换的，$M(S,G)$也是。
2. 置换群： $S$是非空集合。$G$是$S$到自身的双射构成的集合。则$G$是一个群，复合法则是映射的复合，单位元是恒等映射。$G$中的元素称为$S$的置换 (permutation)，$G$也记作$Perm(S)$。
3. $k$是一个域，$V$是$k$上的线性空间。$V$上可逆的线性映射变换记作$GL(V)$，则$GL(V)$在映射的复合下构成一个群。记$k$上$n$阶（阶的定义在2.10. 陪集中给出。）可逆矩阵全体为$GL(n,k)$，则$GL(n,k)$构成一个群。对于$n \geqslant 2$，$GL(n,k)$不是交换的。
4. 自同构群 (group of automorphisms)
5. 有理数集在加法下构成群，非零有理数集在乘法下构成群。对实数和复数有类似的结论。
6. 循环群 (cylic group)：称一个群$G$是循环的 (cylic)，若$\exists a \in G, \forall x\in G, \exists n \in \mathbb{Z}, x=a^{n}$（复合法则为乘法）。$a$称为循环生成元。$\mathbb{Z}$是以$1$或$-1$为生成元的加群，除此之外无其他生成元。正整数$n$的$n$次单位根构成$n$阶循环群，其生成元称为n次单位原根 (primitive n-th root of unity)
7. 直积 (direct product)：$G_1, G_2$是群，$G_1\times G_2$是集合的直积。定义复合法则 $$(x_1,x_2)(y_1,y_2)=(x_1y_1,x_2y_2)$$ 则$G_1\times G_2$构成群，单位元为 $(e_1,e_2)$。类似地可对$G_i\ (i\in I)$定义$G=\prod_{i\in I}G_i$，$G$称为族$\{G_i|i\in G\}$的直积。

子群 (subgroup)

1. 定义：$G$是群。称$H$是$G$的子群，若单位元$e\in H$，且$H$在复合和求逆法则下封闭。（或：$H$是$G$的子幺半群，且在求逆法则下封闭。）称一个子群是平凡的，若它仅含单位元。
2. 生成 (generate)：$G$是群，$S$是$G$的子集。称$S$生成 (generate)$G$，或$S$是$G$的生成元 (generator)的集合，若$G$中的每一个元素可以表示为$S$中的元素或元素的逆的乘积。易见包含所有这样乘积的集合构成包含$S$的$G$的子群。$S$生成$G$当且仅当包含$S$的最小的子群是$G$本身。$S$生成$G$记作$G=\langle S\rangle$。循环群有且仅有一个生成元。

例：两个非交换8阶群

1. 正方形对称群 (group of symmetries of the square)（由作用在正方形上形状不变的变换构成）
   包括恒等变换$e$，3个旋转变换$\sigma, \sigma^2, \sigma^3$（其中$\sigma$表示绕中心的90°旋转），4个轴对称变换$\tau$（两个沿着边，两个沿着对角线），满足： $$\sigma^4=\tau^2=e$$ $$\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^3$$ （可参考https://www.cs.umb.edu/~eb/d4/）
2. 四元数群 (quaternion group) (参考：Michael Artin, Algebra (2nd ed): 46)
   四元数群$H$由$GL_2(\mathbb{C})$中的八个矩阵构成： $$H=\{\pm\textbf{1},\pm \textbf{i},\pm \textbf{j},\pm \textbf{k}\}$$ 其中 $$\textbf{1}1=\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{pmatrix},\quad \textbf{i}=\begin{pmatrix} i &0\\ 0 &-i \end{pmatrix},\quad \textbf{j}=\begin{pmatrix} 0 &1\\ -1 &0 \end{pmatrix},\quad \textbf{k}=\begin{pmatrix} 0 &i\\ -i&0 \end{pmatrix}$$ 满足 $$\textbf{i}^2=\textbf{j}^2=\textbf{k}^2=-\textbf{1}$$ $$\textbf{ij}=-\textbf{ji}=\textbf{k}$$ $$\textbf{jk}=-\textbf{kj}=\textbf{i}$$ $$\textbf{ki}=-\textbf{ik}=\textbf{j}$$ 四元数群是$GL_2(\mathbb{C})$中最小的非循环群。
   另一种理解是将四元数群理解为$\mathbb{R}^3$中的旋转变换。

同态 (homomorphism)

1. 定义：$G,G’$是幺半群。一个幺半群-同态(monoid-homomorphism)定义为 $$f:\ G\to G'$$ 使得 $$f(xy)=f(x)f(y),\ \forall x,y\in G$$ 且 $$f(e)=e'$$ 如果$G,G’$是群，则$G$到$G’$的群-同态 (group-homomorphism)定义为 $G$到$G’$的幺半群-同态。
2. 若$f:G \to G’$是群同态，则显然有 $$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$$
3. 若映射$f:\ G\to G’$满足 $$f(xy)=f(x)f(y)$$ 则$f$是群同态。这是因为 $$f(e)^2=f(ee)=f(e)$$ 两边乘$f(e)^{-1}$ $$f(e)=e'$$

同构 (isomorphism)

1. 定义：$G,G’$是幺半群，$f:\ G\to G’$是同态。称$f$是同构，若存在同态$g:\ G’\to G$，使得： $$g\circ f=1_G,\quad f\circ g=1_{G'}$$ 易见同态$f$是同构当且仅当$f$是双射。$G$与$G’$同构记作$G\approx G’$。若$G=G’$，则称这个同构为自同构。群到自身的同态称作自同态 (endowmorphism)。
2. $f:G\to G’, g:G’\to G’’$是两个群-同态，则它们的复合$g\circ f$是群-同态；如果$f,g$是同构，$g\circ f$也是同构，进一步$f^{-1}:G’\to G$也是同构。特别地，$G$到自身的自同构构成一个群，记作$Aut(G)$。
3. $G$是群，$S$是$G$生成元的集合，$G’$是另一个群，映射$f:S\to G’$。若存在同态$\bar{f}:G\to G’$，使得$\bar{f}|_S=f$，则$\bar{f}$是唯一的。换言之，$f$至多一个到$G$上的延拓。

例：同态与同构

1. $G$是幺半群，$x\in G$。记$\mathbb{N}$为自然数加群。映射$f:\ \mathbb{N}\to G, f(n)=x^n$是同态。若$G$是群，则可以将$f$延拓到$\mathbb{Z}$上。
2. 指数映射 (power map)：$n$是给定整数，$G$是交换群。则映射 $$x\mapsto x^n$$ 是$G$上的自同态，称为n次指数映射 (n-th power map)。
3. $I$是指标集，$\{G_i|i\in I\}$是一族群。令$G=\prod G_i$是它们的直积。令 $$p_i:\ G\to G_i$$ 是在第i个分量上的投影 (projection)，则$p_i$是同构。

核 (kernel)与像 (image)

1. 定义：令$f:G\to G’$是群同态，$e,e’$分别是$G,G’$的单位元。$f$的核定义为$\{x\in G|f(x)=e’\}$，记作$Ker\ f$。立即得$f$的核$H$是$G$的一个子群。$f$的像为$\{f(x)|x\in G\}$，记作$Im\ f$。类似地，$f$的像$H’$是$G’$的一个子群。
2. 嵌入 (embedding)：若同态$f:G\to G’$建立了$G$到它在$G’$中的像的同构，则称$f$为一个嵌入。
3. 若同态$f$的核是平凡的，则$f$是单的。
   事实上，若$f(x)=f(y)$，则有 $$f(xy^{-1})=f(x)f(y^{-1})=e'$$ 从而 $$xy^{-1}\in Ker\ f=\{e\}$$ 所以$xy^{-1}=e$，即$x=y$。
   特别地，若$f$是满的，则是同构。从而核平凡的满同态是同构。单同态等价于嵌入，记作$f:G\hookrightarrow G’$。
4. 命题：$G$是群，$H,K$是两个子群，使得$H\cap K=\{e\},\ HK=G$，且$xy=yx,\ \forall x\in H,\ y\in K$，则映射 $$H\times K\to G$$ $$(x,y)\mapsto xy$$ 是同构。
   这一命题对有限个子群的情形亦成立，此时要求 $$H_1\cdots H_n=G$$ $$H_{i+1}\cap (H_1\cdots H_i)={e}$$ 对于$n=2$的情形，事实上，这个映射显然是满同态。若$(x,y)\in Ker$，则$xy=e,\ K\ni y=x^{-1}\in H$，从而$y \in H\cap K=\{e\}$，即$y=e$。同理$x=e,\ (x,y)=(e,e)$

陪集 (coset)

1. 定义：$G$是群，$H$是$G$的子群。$H$在$G$中的左陪集 (left coset)是形如$aH$的$G$的子集，其中$a\in G$。$aH$中的元素称为$aH$的陪集代表元 (coset representative)。映射$x\mapsto ax$是$H$到$aH$上的双射。从而两个左陪集有相同的基数。
2. 若$aH$，$bH$有公共元素，则是同一个左陪集。
   事实上，设$ax=by$，$x,y\in H$，则有$a=byx^{-1}\in bH$，从而$aH=bH$。
3. 群的所有左陪集构成了群的一个划分。类似的结果对右陪集亦成立。
4. 指标 (index)：$G$中$H$的左陪集的数量称为$H$在$G$中的（左）指标 (left index)，记作 $(G:H)$，显然是正整数。$G$的平凡群$1$的指标称为$G$的阶 (order)。立即得$(G:1)=|G|$。
5. 计数公式：命题：$G$是群，$H$是$G$的子群，则 $$(G:H)(H:1)=(G:1)$$ 即： $$(G:H)|H|=|G|$$ 一般地，有： $$(G:K)=(G:H)(H:K)$$

例：计数公式的应用

1. 素数阶群是循环群。
   事实上，若$G$是$p$阶群，$p$是素数，$e\not ={x}\in G$，则$\langle x\rangle$是$G$的子群，从而由计数公式：$(G:\langle x \rangle)|\langle x \rangle|=p$，从而$(G:\langle x \rangle)=1$，即$G=\langle x\rangle$
2. 令$J_n=\{1,\cdots ,n\}$。$S_n$是$J_n$上的置换群。定义换位 (transportation)为一个置换$\tau$，使得$\exists r,s\in J_n$，$r\not ={s}$，满足$\tau(r)=s,\tau(s)=r$，不难发现换位生成置换群$S_n$。事实上，设$\sigma$是一置换，使得$\sigma(n)=k\not ={n}$，换位$\tau$交换$k,n$，则$\tau\sigma$是一个固定$n$的置换，归纳地，可设$\tau\sigma$是$Perm(J_{n-1})$中的换位的乘积，从而$\sigma$是$Perm(J_n)$中元素的乘积。
   不难得到：$|S_n|=n!$。
   事实上，设$H$是$S_n$中固定$n$的置换构成的集合，注意到$H\approx S_{n-1}$。$\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in S_n$满足$\sigma_i(n)=i$，则$\sigma_iH,(i=1,\cdots, n)$是$H$的左陪集。从而由计数公式： $$|S_n|=(S_n:H)(H:1)=n(H:1)=n(S_{n-1}:1)$$ 归纳地，有$(S_{n-1}:1)=(n-1)!$，从而$|S_n|=n!$。

正规子群 (NORMAL SUBGROUP)

引例：群-同态的核

1. 令$f:G\to G’$是群-同态，$H$是核。若$x\in G$，则有$xH=f^{-1}(f(x))=Hx$。这关系也可以写作$xHx^{-1}=H$。
2. 反之，令$G$是群，$H$是子群。设$\forall x\in G$，有$xH\subset Hx$（或等价地，$xHx^{-1}\subset H$）。另一方面，用$x^{-1}$替换$x$，有$x^{-1}H\subset Hx^{-1}$（或等价地，$H\subset xHx^{-1}$），从而有$H=xHx^{-1}$。（这里说明了什么呢？）

正规子群 (normal subgroup)

1. 定义：称群$G$的子群$H$为$G$的正规子群 (normal group)，若$xHx^{-1}=H,\ \forall x \in G$（或等价地，$xH=Hx,\ \forall x \in G$），记作$H\triangleleft G$
2. $G$，$H$同上假设。令$G’$是$H$的陪集构成的集合。注意到$Hy=yH,\ \forall y \in G$，从而有如下复合法则： $$(xH)(yH)=xHyH=xyHH=xyH,\ \forall x,y\in G$$ 并且易验证这一法则是结合的。$H$自身是单位元，并且$(xH)(x^{-1}H)=H,\ \forall x\in G$，从而$G’$构成群。

典型映射 (canonical map)与商群 (factor group)

1. 定义：$G$，$G’$定义同上，映射 $$f:G \to G'$$ $$x\mapsto xH$$ 称为典型映射 (canonical map)。
2. 上述$f$是满足$Ker\ f=H$的同态。
   事实上，显然$H\subset Ker\ f$。若$f(x)=H$，则$xH=H$，从而$x\in H$，从而$Ker\ f\subset H$
3. 上述$G’$称为$G$关于$N$的商群 (factor group)

注：正规化子 (normalizer)与中心化子 (centralizer)

1. 令$\{H_i\}_{i\in I}$是$G$的一族正规子群，则 $$H=\bigcap_{i\in I}H_i$$ 也是$G$的正规子群。
2. 正规化子 (normalizer)：$S$是群$G$的子集，称集合 $$N_s=\{x\in G|xSx^{-1}=S\}$$ 为$S$的正规化子。$N_s$是$G$的子群。
3. 中心化子 (centralizer)：若$S$只有一个元素$a$，则 称$N_s$为$a$的中心化子。一般地，可定义$S$的中心化子 $$Z_s=\{x\in G|xyx^{-1}=y,\ \forall y\in S\}$$ $Z_s$是$G$的子群。$G$的中心化子$Z_G$称为$G$的中心 (center)。
4. （正规化子的极大性）$H$是群$G$的子群，则显然$H$在其正规化子$N_h$中正规。进一步，若$H$在$K$中正规，则$K\subset N_h$。
5. 若$K$是$H_h$的子群，则$KH$是群，且$H$在$KH$中正规。
6. 一个记号：$x$，$y$属于同一个$H$陪集（或等价地，$xy^{-1}\in H$）记作： $$x\equiv y \pmod H$$ 读作$x$，$y$模$H$同余。若记为加法，用同样的记号表达$x-y\in H$。

例：两个正规子群

1. 注意到行列式映射是方阵到一个域上的乘法群的同态，这个同态的核称为特殊线性群 (special linear group)。
2. 记$T_{a,b}\ (a,b\in \mathbb{R})$为映射： $$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ $$x\mapsto ax+b$$ 记 $$G=\{T_{a,b}|a\not=0\}$$ $G$的子群 $$A=\{T_{a,0}|a\not ={0}\}$$ $$N=\{T_{1,b}\}$$ 考虑$G$到$\mathbb{R}^*$上乘法群的同态 $$f:G\to \mathbb{R}^*$$ $$T_{a,b}\mapsto a$$ 注意到$Ker\ f=N$，从而$N\triangleleft G$。
   进一步，满足$G=AN=NA$，$A\cup N=\{e\}$，此时称$G$是$A,B$的半直积 (semidirect product)。（注：直积要求$A$和$N$中的元素乘法可交换，即$xy=yx,\ \forall x\in A,y\in N$）

正合 (exact)

1. 定义：称同态列 $$G'\xrightarrow{f}G\xrightarrow{g}G''$$ 是正合的 (exact)，若 $$Im\ f=Ker\ g$$ 对更“长”的同态列 $$G_1\xrightarrow{f_1}G_2\to \cdots\xrightarrow{f_{n-1}}G_n$$ 称为是正合的，若 $$Im\ f_i=Ker\ f_{i+1},\ \forall i=1,\cdots,n-1$$
2. 例：$H\triangleleft G$，则同态列 $$H\xrightarrow{j}G\xrightarrow{\phi}G/H$$ 是正合的，其中$j$是包含映射，$\phi$是典型映射。
3. 例：记$0$是平凡群，同态列 $$0\to G' \xrightarrow{f}G\xrightarrow{g}G''\to 0$$ 是正合的，若 $$Ker\ f=0,\ Im\ g=G'',\ Im\ f=Ker\ g$$ 即$f$是单射，且$g$是满射。
   可建立如下图： 其中$H=Ker\ g$，水平箭头表示正合列，垂直箭头表示同构。（如对于第一个垂直箭头是因为：$G’\approx Im\ f=Ker\ g=H$）

例：典型同态

1. $G$，$G’$是群，$f:G\to G$是同态，$Ker\ f=H$。令$\phi:G\to G/H$是典型映射，则存在唯一的$f^{*}:G/H\to G’$使得$f^{*} \circ \phi = f$，$f^{*}$定义为： $$G/H\to G'$$ $$xH\mapsto f(x)$$ $f^*$是良定义的，且易验证$f^*$是同态，称为由$f$诱导的 (induced)同态。
2. $G$是群，$H$是子群，$N$是所有包含$H$的正规子群的交，则$N$是正规子群，且$N$是包含$H$的最小的正规子群。令$f:G\to G’$是同态，$H\subset Ker\ f$，则存在唯一的同态$f^*:G/N\to G’$，使得下图交换： 其中$\phi: G\to G’$是典型映射，$f^*$定义为 $$xN\mapsto f(x)$$ 易验证$f^*$是良定义的。
3. $G$是群，$K\subset H$是$G$的两个正规子群。则$K\triangleleft H$，且可以定义 $$f^{*}:G/K\to G/H$$ $$xN\mapsto xK$$ 注意到$Ker\ f^*=H/K$，从而有$(G/K)/(H/K)\approx(G/H)$
   并且 $$0\to H/K\to G/K\xrightarrow{f^*}G/H$$ 是正合的。
4. $G$是群，$H$，$K$是其子群。设$H\subset N_K$，则$(H\cap K)\triangleleft H$，同时$HK=KH$是$G$的子群，于是可建立满同态： $$H\to HK/K$$ $$x\mapsto xK$$ 注意到这一同态的核为$H\cup K$，从而可以得到典型同构： $$H/(H\cap K)\approx HK/K$$
5. 令$f:G\to G’$是群同态，$H’\triangleleft G’$，令$H=f^{-1}(H’)$，则$H\triangleleft G$。即成立下图： 同态$G\to G’\to G’/H’$由$f$复合典型映射$G’\to G’/H’$得到，其核为$H$，从而得到单同态 $$\bar{f}:G/H\to G'/H'$$ 也称为典型的。并成立交换图：

塔 (tower)

1. 定义：$G$是群，称一列子群 $$G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset \cdots G_m$$ 是一个子群塔 (tower)。塔称作是（在$G$中）正规的 (normal)，若$G_{i+1}\triangleleft G_{i}\ (i=0,\dots,m-1)$；塔称作是阿贝尔的 (abelian)（或循环的 (cyclic)），若$G_i/G_{i+1}$是阿贝尔的（或循环的）。
2. 令$f:G\to G’$是同态，塔$G’=G’_0\supset G’_1\supset G’_2\supset \cdots G’_m$在$G’$中正规，并令$G_i=f^{-1}(G’_i)$，则$G_i\ (i=0,1,\cdots,m)$是$G$中的正规塔（由上述例5立即得），若$G’$生成的塔是阿贝尔的（或循环的），则$G$生成的塔是阿贝尔的（或循环的），这是因为 $$G_i/G_{i+1}\to G'_i/G'_{i+1}$$ 是单同态（同样由例5得）。
3. 加细 (refinement)
   塔 $$G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset \cdots G_m$$ 的加细由向塔中添加有限个子群得到。
4. 可解 (solvable)
   一个群称为是可解的 (solvable)，若它有一个阿贝尔塔，并且塔的最后一个元素是平凡群$\{e\}$。
5. 命题
   令$G$是有限群，则$G$的一个阿贝尔塔存在一个循环加细。令$G$是一有限可解群，则存在$G$的一个循环塔，其最后一个元素是$\{e\}$。
   证明：对$G$的阶数归纳法。
6. 定理
   $G$是群，$H$是一个正规子群。$G$可解当且仅当$H$和$G/H$可解。
   证明：首先证明$G$可解蕴含$H$可解。
   令$G=G_0\supset G_1\supset\cdots G_r=\{e\}$是阿贝尔的，令$H_i=H\cap G_i$，则$H_{i+1}\triangleleft H_{i}$，得到嵌入： $$H_i/H_{i+1}\to G_i/G_{i+1}$$ 从而$H_i/H_{i+1}$是阿贝尔的，进而是可解的。
   其次证明$H$，$G/H$可解蕴含$G$可解。
   设 $$G/H\triangleright N_1\triangleright N_2 \triangleright \cdots N_m=\{e\}$$ $f:G\to G/H$是典型（满）同态，记$G_i=f^{-1}(N_i)$，则 $$G\triangleright G_1\triangleright G_2\triangleright \cdots G_m$$ 并且$G_m=Ker\ f$在$G$中可解
   从而存在阿贝尔塔$G_m\supset G_{m+1}\supset\cdots \supset G_{m+k}=\{e\}$
   进而$G$可解。

例：可解群

1. 阶数是素数的幂的群是可解的（以后证明）。
2. （Feit-Thonpson 定理）所有奇数阶有限群是可解的（以后证明）。
3. 可解群在域论中出现：Galois 群的可解扩张。
4. 令$k$是一个域，$G=GL(n,k)$是$k$上的$n$阶可逆矩阵群，$T=T(n,k)$是上三角矩阵群，$D$是对角矩阵群，$N$是所有对角线及对角线以下的元素都为$0$的矩阵构成的加法群，令$U=I+N$，$I$是单位矩阵。则$U$是$G$的子群（注意到$N$由幂零阵构成，因此$\forall A\in N,\ \exists m,\ (I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots +A^m$）。
   存在满同态： $$T\to D$$ $$A\mapsto diag(A)$$ 其核为$U$。
   更一般地，对$r\geqslant 2$，令$N^{r-1}$为如下形式的矩阵： 令$U_r=I+N^r$。则$U_1=U$，$U_r\supset U_{r+1}$，进一步，$U_{r+1}\triangleleft U_{r}$，并且商群在映射： $$I+M\mapsto (a_{1r},\cdots ,a_{n-r,n})$$ 下同构于加群$k^{n-r}$。从而得到阿贝尔塔： $$T\supset U=U_1\supset U_2\supset\cdots U_n=\{I\}$$

换位子群 (commutator group)

1. 换位子 (commutator)：群$G$中的换位子 (commutator)是形如$xyx^{-1}y^{-1}\ (x,y\in G)$的元素。令$G^C$是换位子生成的子群，称为$G$的换位子群 (commutator subgroup)。
2. $G$的换位子群$G^C\triangleleft G$。
   事实上，对于任意自同构 $$f:G\to G$$ 有 $$f(xyx^{-1}y^{-1})=f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1}\in G^C$$ 从而$f(G^C)\subset G^C$。
   特别地，$\forall g\in G$，考虑自同构： $$x\mapsto gxg^{-1}$$ 有$gG^Cg^{-1}\subset G^C$
   从而$G^C\triangleleft G$。(参考 Thomas W. Hungerford, Algebra: 102)
3. 任一$G$到交换群$G’$的同态$f:G\to G’$的核包含$G^C$。
   证明是显然的。
4. $G/G^C$是交换的。
   事实上，$\forall \bar{x},\bar{y}\in G/G^C$，有 $$\bar{x}\bar{y}\bar{x}^{-1}\bar{y}^{-1}=\bar{e}$$ 从而$G/G^C$交换。
5. 注：有的书利用换位子群定义可解群：
   记群$G$的换位子群为$G^{(1)}$，群$G^{(i)}$的换位子群为$G^{(i+1)}\ (i\geqslant 1)$。称$G$是可解的，若$\exists n,\ G^{(n)}=\{e\}$。

单群 (simple group)

1. 定义：一个群称为是单的 (simple)，若它是非平凡的，且不含除$\{e\}$和它本身外的其他正规子群。
2. 蝴蝶引理 (Butterfly Lemma) (Zassenhaus)：令$U,V$是一个群的子群，$u,v$分别是$U,V$的正规子群，则： $$u(U\cap v)\triangleleft u(U\cap V)$$ $$(u\cap V)v\triangleleft (U\cap V)v$$ 同时有如下同构： $$u(U\cap V)/u(U\cap v)\approx (U\cap V)v/(u\cap V)v$$ 证明：
   只需证明如下同构： $$\frac{u(U\cap V)}{u(U\cap v)}\approx\frac{U\cap V}{(u\cap V)(U\cap v)}\approx \frac{(U\cap V)v}{(u\cap V)v}$$ 令$H=U\cap V,\ N=u(U\cap v)$
   则$H\cap N=(u\cap V)(U\cap v),\ HN=u(U\cap V)$
   由定理$H/(H\cap N)\approx HN/N$
   即得$(U\cap V)/(u\cap V)(v\cap U)\approx u(U\cap V)/u(U\cap v)$
   同理的右边的同构。

等价 (equivalent)

1. 定义：
   令$G$是群， $$G=G_1\supset G_2\supset \cdots \supset G_r=\{e\}$$ $$G=H_1\supset H_2\supset \cdots \supset H_s=\{e\}$$ 是两个正规塔。称这两个塔是等价的 (equivalent)，若$r=s$，且存在一个指标$i=1,\cdots,r-1$的置换，记作：$i\mapsto i’$使得： $$G_i/G_{i+1}\approx H_{i'}/H_{i'+1}$$ 即因子群序列在相差一个排序的意义下同构。
2. 定理 (Schreier)：
   令$G$是群，两个以平凡群结束的正规塔拥有等价的加细。
   证明：
   设 $$G=G_1\supset G_2\supset \cdots \supset G_r=\{e\}$$ $$G=H_1\supset H_2\supset \cdots \supset H_s=\{e\}$$ 是两个正规塔。$\forall i=1,\cdots,r-1,\ j=1,\cdots, s$，定义 $$G_{ij}=G_{i+1}(H_j\cap G_i)$$ 有$G_{is}=G_{i+1}$，并且可对第一个塔加细： $$G=G_{11} \supset G_{12} \supset \cdots \supset G_{1, s-1} \supset G_{2}$$ $$=G_{21} \supset G_{22} \supset \cdots \supset G_{r-1,1} \cap \cdots \supset G_{r-1, s-1} \supset\{e\}$$ 类似地，定义$H_{j i}=H_{j+1}\left(G_{i} \cap H_{j}\right)$，从而得到第二个塔的加细： $$H=H_{11} \supset H_{12} \supset \cdots \supset H_{1,r-1} \supset H_{2}$$ $$=H_{21} \supset H_{22} \supset \cdots \supset H_{s-1,1} \cap \cdots \supset H_{s-1, r-1} \supset\{e\}$$ 由蝴蝶引理，$\forall i=1,\cdots,r-1,\ j=1,\cdots,s-1$，有同构 $$G_{i j} / G_{i, j+1} \approx H_{j i} / H_{j, i+1}$$ 从而得到等价的加细。
3. 定理 (Jordan-Hölder)
   令$G$是群，正规塔 $$G=G_1\supset G_2\supset \cdots \supset G_r=\{e\}$$ 满足$G_i\not ={G_{i+1}},\ \forall i=1,\cdots ,r-1$，$G_i/G_{i+1}$是单群。则$G$满足上述条件的正规塔在等价的意义下唯一。
   证明：记号同上。
   由于$G_i/G_{i+1}$是单群，因此$\forall i,\ \exists j$，使得$G_{ij}/G_{i,j+1}=G_i/G_{i+1}$。（若不然，$\exists i,\ \forall j,\ G_{ij}/G_{i,j+1}\not ={G_i/G_{i+1}}$，特别地，$G_{i,s-1}/G_{i+1}\not ={G_i/G_{i+1}}$，从而有$G_{i,s-1}/G_{i+1}\triangleleft G_i/G_{i+1}$，与单群矛盾。）从而加细后的塔与原塔相同。这样就证明了命题。
   注：有的书也将满足该性质的塔称为组成列 (composition series)

循环群 (CYCLIC GROUP)

引例：$\mathbb{Z}$的子群

1. 令$H$是$\mathbb{Z}$的子群。若$H$是非平凡的，令$a$是$H$中最小正整数。我们证明$H$由所有形如$na$的元素组成。
   令$y\in H,\ \exists n\in \mathbb{Z},\ 0\leqslant r<a$，使得 $$y=na+r$$ 由于$H$是子群，因此$r=y-na\in H$，从而$r=0$，命题得证。

循环群 (cyclic group)

1. 定义：称群$G$是循环的 (cyclic)，若$\exists a\in G,\ \forall x\in G,\ \exists n\in \mathbb{Z},\ x=a^n$。
   换言之，映射 $$f:\mathbb{Z}\to G$$ $$n\mapsto a^n$$ 是满射。
   这样的$a$称为生成元。
2. 令$G$是群，$a\in G$，由所有$a^n$构成的$G$的子集显然是$G$的循环子群。若正整数$m$使得$a^m=e$，称$m$是$a$的一个指数。如果$\forall x\in G,\ x^m=e$，称$m$是$G$的指数。
3. 令$G$是群，$a\in G$。令 $$f:\mathbb{Z}\to G$$ $$n\mapsto a^n$$ $H=Ker\ f$。则有以下两种情形：
   case 1:
   $H$平凡，则$f$是$\mathbb{Z}$到$G$的由$a$生成的循环子群的同构，且这子群是无限群。如果$a$生成$G$则称$G$是循环的。称$a$具有无限周期。
   case 2:
   $H$非平凡，令$d$为核中的最小正整数，$d$称为$a$的周期。若$m$使得$a^m=e$，则$\exists s\in \mathbb{Z},\ m=ds$。又注意到元素$e,a,\cdots, a^{d-1}$不同，从而由$a$生成的循环子群的阶是$d$。从而得到下述命题：
4. 令$G$是$n$阶有限群（$n>1$），$e\not ={a}\in G$，则$a$的周期整除$n$。若$G$的阶是素数，则$G$是循环的，且$G$的任意生成元均具有周期$p$。进一步：

命题：循环群的子群

令$G$是循环群，则$G$的每一个子群都是循环的。若$f$是$G$的一个同态，则$Im\ f$是循环的。
证明:
令$G$是一无限循环群，则同构于$\mathbb{Z}$，而我们已知$G$的每一子群都是循环群
若$f:G\to G’$是同态，$a$是$G$的生成元，则$f(a)$显然是$f(G)$的生成元，从而像$f(G)$是循环的。
下面令$H$是$G$的子群，希望证明$H$是循环的。令$a$是$G$的生成元，存在满同态$f:\mathbb{Z}\to G$使得$f(n)=a^n$，其逆像$f^{-1}(H)$是$\mathbb{Z}$的一个子群，从而为$m\mathbb{Z}$（对某正整数$m$）。由于$f$满，有满同态$m\mathbb{Z}\to H$。由于$m\mathbb{Z}$循环，因此$H$循环，命题得证。
从该命题立即得：两个$m$阶循环群同构。

命题

1. 无限循环群有且仅有两个生成元。若$a$是生成元，则另一个是$a^{-1}$。
2. 令$G$是$n$阶循环群，$x$是生成元，$G$的生成元的集合由$x^v$组成，其中$v$与$n$互素。
   （若$b=x^v,\ (v,n)=d>1$，则$\langle b\rangle=\{e,a^v,\cdots,a^{\frac{n}{d}v}\}$是$G$的真子群。）
3. 令$G$是循环群，$a$，$b$是两个生成元，则存在$G$上的自同构将$a$映到$b$。另一方面，$G$上的任一自同构将$a$映到$G$的生成元。
   （$G$上的自同构$f$，（由5）$Im\ f=G$是循环的，生成元是$f(a)$）
4. 令$G$是$n$阶循环群，正整数$d$整除$n$，则$G$存在唯一的$d$阶循环子群。
   （令$d|n$，$m=n/d$，$f:\mathbb{Z}\to G$是满射。则$f(m\mathbb{Z})$是$G$的正规子群，有同构$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\approx G/f(m\mathbb{Z})$，$|\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}|=|G/f(m\mathbb{Z})|=m$，亦即$f(m\mathbb{Z})$的指标是$d$，从而$f(m\mathbb{Z})$的阶是$d$。另一方面，令$H$是$d$阶子群，则$f^{-1}(H)=m\mathbb{Z}$，其中$m$是某一正整数.由于$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\approx G/H$，从而$n=md$，因此$m=\frac{n}{d},\ H=f(m\mathbb{Z})$是唯一确定的。）
5. 令$G_1$，$G_2$分别是$m$，$n$阶循环群。如果$m$，$n$互素，则$G_1\times G_2$循环。
   （令$A=\langle a\rangle, B=\langle b\rangle$分别为$m,n$阶循环群，$m,n$互素。考虑同态$f:\mathbb{Z}\to A\times B,\ k\mapsto (a^k,b^k)$，核中的元素必然是$m,n$的公倍数，从而使$mn$的倍数。另一方面，$mn\mathbb{Z}\subset Ker\ f$，从而$Ker\ f=mn\mathbb{Z}$。根据中国剩余定理，$f$是满的，从而$A\times B\approx \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$是循环群。）
6. 令$G$是有限阿贝尔群。若$G$不循环，则存在素数$p$和$G$的子群，该子群同构于$C\times C$，其中$C$是$p$阶循环群。
   （以后证）

THE END